Los cálculos
Cómo calcular quién debe a quién
Solo hay tres pasos: lo que pagó cada persona, lo que le correspondía pagar y la diferencia. La parte ingeniosa consiste en convertir esas diferencias en el menor número posible de pagos.
Para quién es: Cualquiera que quiera comprobar los números a mano o entender qué hace una calculadora.
Respuesta breve
Calcula cuánto pagó cada persona y cuál era su parte justa, resta una cantidad de la otra para obtener el saldo neto de cada persona y luego haz que el mayor deudor pague al mayor acreedor, repitiendo el proceso hasta que todos los saldos sean cero.
Paso a paso
- 1Suma lo que realmente pagó cada persona.
- 2Suma la parte justa que corresponde a cada persona de cada gasto en el que participó.
- 3Saldo neto = lo pagado menos la parte que corresponde. Si es positivo, se le debe dinero; si es negativo, debe dinero.
- 4Empareja el mayor saldo negativo con el mayor saldo positivo y transfiere el menor de los dos importes.
- 5Repite hasta que todos los saldos sean cero. Como máximo, se necesita un pago menos que el número de personas; detectar personas cuyos saldos se compensen exactamente puede ahorrar más pagos.
«Quién le debe a quién» solo parece complicado porque la gente intenta deducirlo a partir de un montón de deudas individuales: Ana le debe a Ben, Ben le debe a Cleo, Cleo le debe a Ana. Desenredar eso a mano es realmente difícil. Calcular primero los saldos netos lo vuelve trivial.
El truco está en dejar de pensar en parejas de personas y empezar a pensar en el saldo neto único de cada persona frente al grupo en su conjunto. Una vez que tienes esa cifra por persona, saldar cuentas es un problema de emparejamiento, no de álgebra.
Esto es exactamente lo que automatiza una calculadora de gastos en grupo, pero el método es lo bastante sencillo como para hacerlo en papel con grupos pequeños. Entenderlo deja claro por qué la lista de pagos para saldar cuentas de la aplicación es corta, en lugar de una maraña arbitraria de reembolsos.
Ejemplos prácticos con números reales
Cinco personas, gastos de un fin de semana
Priya, Quinn, Ravi, Sara y Tom compartieron gastos por un total de 400. Priya pagó 220, Sara pagó 140, Quinn pagó 40, y Ravi y Tom no pagaron nada.
| Totales | Importe |
|---|---|
| Total gastado | 400.00 |
| Parte justa por persona (400 ÷ 5) | 80.00 |
| Persona | Pagado | Parte justa | Saldo |
|---|---|---|---|
| Priya | 220.00 | 80.00 | +140.00 |
| Quinn | 40.00 | 80.00 | −40.00 |
| Ravi | 0.00 | 80.00 | −80.00 |
| Sara | 140.00 | 80.00 | +60.00 |
| Tom | 0.00 | 80.00 | −80.00 |
- RaviPriya80.00
- TomPriya60.00
- TomSara20.00
- QuinnSara40.00
Los saldos son +140 (Priya), +60 (Sara), −40 (Quinn), −80 (Ravi), −80 (Tom). Emparejar en cada ronda al mayor deudor con el mayor acreedor da lugar a cuatro transferencias: una menos que las cinco personas implicadas.
Tres personas, un pequeño gasto compartido
Iris, Jae y Kim gastan 54 en aperitivos para una noche de cine. Iris lo pagó todo.
| Totales | Importe |
|---|---|
| Total gastado | 54.00 |
| Parte justa por persona (54 ÷ 3) | 18.00 |
| Persona | Pagado | Parte justa | Saldo |
|---|---|---|---|
| Iris | 54.00 | 18.00 | +36.00 |
| Jae | 0.00 | 18.00 | −18.00 |
| Kim | 0.00 | 18.00 | −18.00 |
- JaeIris18.00
- KimIris18.00
Cuando una persona pagó por todos, la solución siempre tiene la misma estructura: los demás le pagan directamente su parte. Dos transferencias para tres personas: nunca más de n−1.
El método de saldos y emparejamiento
1. 1. Total pagado por persona
suma todos los gastos según quién los pagó
2. 2. Parte total por persona
suma la parte justa de cada persona en cada gasto en el que participó
3. 3. Saldo neto
saldo = pagado − parte (positivo = por cobrar, negativo = por pagar)
4. 4. Comprueba que la suma de los saldos sea cero
suma de todos los saldos = 0, siempre
5. 5. Empareja
pagar el saldo de quien más debe a quien más tiene por cobrar, con un límite de mín(|deuda|, saldo a favor)
6. 6. Repite
actualizar ambos saldos y repetir hasta que todos los saldos sean 0
Este método, que empieza por los importes más altos, nunca necesita más de n−1 transferencias para n personas. No siempre es el mínimo absoluto: si los saldos de algunas personas se cancelan exactamente (por ejemplo, +30 y −30), saldarlos por separado ahorra una transferencia. La calculadora comprueba esas combinaciones automáticamente.
Pagos necesarios: sin simplificar frente a simplificados
| Personas | Método simple (saldar cuentas entre cada pareja) | Como máximo (n−1) |
|---|---|---|
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 6 | 3 |
| 5 | 10 | 4 |
| 6 | 15 | 5 |
| 8 | 28 | 7 |
| 10 | 45 | 9 |
El método simple contempla n×(n−1)÷2 posibles deudas entre parejas; el simplificado requiere como máximo n−1 transferencias.
Errores que causan discusiones
Saldar deudas a medida que se mencionan
Reembolsar cada deuda individual a medida que alguien la recuerda genera muchas más transferencias de las necesarias y, a menudo, importes incorrectos cuando los gastos posteriores modifican el saldo.
Olvidar incluir la parte de quien paga
La persona que pagó la cena también cenó: su parte sigue contando como lo que le corresponde pagar, pero se compensa con lo que ya pagó.
Suponer que los saldos deben ser números redondos
Los repartos reales suelen dar importes con céntimos. No pasa nada: los saldos siguen sumando cero, aunque las cifras no sean redondas.
Emparejar de forma arbitraria en lugar de emparejar los saldos más grandes
Cualquier combinación válida que deje todos los saldos a cero sirve, pero emparejar el mayor saldo deudor con el mayor saldo acreedor permite mantener la lista corta de forma fiable.
Consejos prácticos
- Calcula siempre la parte que le corresponde a cada persona, no solo lo que ha gastado.
- Saldo = pagado menos parte correspondiente, no pagado menos promedio pagado.
- Comprueba que los saldos de cada grupo sumen cero antes de saldar cuentas.
- Ordenen a los deudores y acreedores por importe antes de emparejarlos.
- Deja que una calculadora determine quién paga a quién cuando el grupo supere las cuatro o cinco personas: es una tarea mecánica, pero es fácil equivocarse al hacerla a mano.
Preguntas
¿Por qué no hacer que todos paguen a todos?
Porque eso multiplica las transferencias. Compensar primero los saldos suele reducir el número de pagos a la mitad o más.
¿Qué pasa si las cifras no dan exactamente cero?
Redondear a dos decimales puede dejar uno o dos céntimos de diferencia. Redondea el pago final; nadie va detrás de un céntimo.
¿Importa el orden de los pagos?
No. Cualquier conjunto de transferencias que deje todos los saldos en cero es válido; uno más corto simplemente resulta más cómodo.